Simulador Matemáticas Admisión 2026 (Tipo ESPOL) | Ejercicios 11-20

Simplifique la siguiente expresión algebraica considerando las restricciones del caso (denominadores no nulos):

\( E = \left( \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} - \frac{x-y}{x+y} \right)^{-1} \left( \frac{x+y}{2xy} \right)^{-1} \)

Sea \( B \) una matriz cuadrada de orden \( 2 \times 2 \). Considere el sistema de ecuaciones lineales homogéneo \( BX = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).
Si se sabe que los vectores \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) y \( \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) son soluciones de dicho sistema, entonces es VERDAD que:

Considere el referencial \( Re = \mathbb{R} \) y el predicado \( p(x): 4^x - 3 \cdot 2^{x+3} + 128 = 0 \). Determine la suma de los elementos del conjunto solución \( Ap(x) \).

Sean \( P(x) = 5x + 1 \), \( Q(x) = x + 2 \) y \( R(x) = x - 1 \) tres polinomios. Si se cumple la identidad \( P(x) = A \cdot Q(x) + B \cdot R(x) \) para todo valor de \( x \), determine el valor de la suma de constantes \( A + B \).

Observe la gráfica de la función \( f \) (o considere una función continua tal que su curva corta a la recta \( y=2 \) únicamente en los puntos de abscisa \( x=-3 \) y \( x=3 \), manteniéndose por encima de dicha recta fuera de ese intervalo).
Determine el conjunto de verdad \( Ap(x) \) para el predicado: \( p(x): \text{sgn}(f(x) - 2) = 1 \).

Determine el valor numérico exacto de la siguiente expresión que involucra funciones especiales:

\( E = \frac{4 sgn(-e) + \log_3(243)}{\sqrt{2}\text{sen}(\frac{3\pi}{4}) + e^{2\ln(3)}} \)

Determine la regla de correspondencia por tramos para la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por:
\( f(x) = 2x^2\mu(x-1) - |x+3| \)
Considere que \( \mu \) representa la función escalón unitario.

En la figura geométrica (trapecio rectángulo circunscrito a un semicírculo), se sabe que los segmentos verticales \( \overline{AD} \) y \( \overline{BC} \) son tangentes al arco, al igual que el segmento inclinado \( \overline{CD} \). Si las longitudes son \( AD = 9u \) y \( BC = 4u \), determine la longitud del radio del semicírculo.

Sean \( f \) y \( g \) dos funciones de variable real definidas por \( f(x) = \log_2(x-1) \) y \( g(x) = x^3 + 3 \).
Considere un triángulo \( ABC \) donde \( A \) es el origen \( (0,0) \), \( B \) es el punto de intersección de \( f \) con el eje \( X \), y \( C \) es el punto de intersección de \( g \) con el eje \( Y \).
Si la región triangular \( ABC \) rota \( 360^{\circ} \) alrededor del eje \( X \), el volumen del sólido generado es: